Fondamenti della meccanica atomica
(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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(2) Estendendo il concetto di integrale nel senso di Stieltjes, si potrebbe scrivere questa formula, come tutte quelle analoghe, col solo integrale
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che è la nota curva gaussiana degli errori col centro in .
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(1) Molti autori scrivono questa formula col segno + all'esponente: ciò non porta nessuna differenza sostanziale, salvo alcuni cambiamenti di segno
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Se l'autovalore è semplice, l'autofunzione che gli corrisponde dà senz'altro, col quadrato del suo modulo, la distribuzione della probabilità P: se
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Ora, ciascuna delle rappresenta la distribuzione, per t = O, della in uno «stato semplice»: tale si evolve poi col tempo secondo la legge (128
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posizione della particella, data da , risulta indipendente da x: ciò è in relazione col fatto che, essendosi determinato con precisione assoluta l'impulso
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Questa formula dimostra che la precisione diminuisce col tempo, cioè che il gruppo d'onde, nel propagarsi (dopo il tempo O) si allarga sempre più
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Mostriamo ora un primo esempio di quantizzazione col metodo di Schrödinger, considerando una particella che possa scorrere (senza forze) su un tratto
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finiti di , quindi eventuali singolarità della u si possono presentare solo per : col criterio del § 16 si riconosce che effettivamente l'equazione ha
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Si vede di qui che, fissato , il coefficiente di trasmissione varia in modo periodico col variare di l (spessore della barriera): per cos ossia per
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Questa equazione ben nota si può integrare col metodo della separazione delle variabili, cioè ponendo
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dove si è scritto l'esponente senza doppio segno, con l'intesa che m possa essere positivo, nullo o negativo: l'intero m (col segno) si chiama
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Si può quindi prendere per P una serie di potenze pari o di potenze dispari, col primo coefficiente arbitrario.
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semioscillazione contraria, il primo membro può interpretarsi come l'integrale di pdx (dove p indica ora l'impulso preso col suo segno) esteso ad una
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Molte volte l'equazione (305) si può integrare col metodo della separazione delle variabili, cioè prendendo W della forma (308) (dove, beninteso
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Riprendiamo il problema studiato al § 39 per trattarlo col metodo di Sommerfeld. Si ha anzitutto dalla meccanica che la particella eseguirebbe delle
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stesso risultato, come si è visto, si ottiene col metodo di Schrödinger, ed è confermato in vari modi dall'esperienza: cosicchè in questo caso
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(1) Sceglieremo il verso positivo di coincidente col verso in cui è percorsa l'ellisse, cosicchè p non sia negativo.
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ossia, introducendo un nuovo numero intero (che si identificherà col «quanto totale» del § 47)
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Si osservi pure che l'ipotesi dei «quanti di luce» è distinta da quella dei quanti di Planck: la prima infatti si riferisce al modo col quale
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carica efficace del nucleo va gradatamente crescendo col decrescere di r, e tende alla carica vera Ze col tendere di r a 0. In tal caso dunque si può dire
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della serie s, della serie p, ecc., od anche di termini s, p, ecc. Si osservi che, essendo sempre la serie s incomincia col termine 1s, la serie p
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deve essere soddisfatto non solo nei riguardi della frequenza ma anche delle altre proprietà della radiazione emessa. Tale postulato, noto col nome
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Definiremo allora come F() l'o. l. ottenuto sostituendo materialmente, nella serie precedente, il simbolo col simbolo (con che ogni termine della
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Nel caso degli autovalori continui è importante osservare che se è un'autofunzione di appartenente all'autovalore , e normalizzata (col criterio del
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È questa la relazione cercata. Da essa risulta, in particolare, che, col variare di θ da O a 180°, θ' varia da 90° a 0°: quindi, gli elettroni sono
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Se poi le osservabili X, Y sono compatibili, il loro prodotto simmetrizzato si identifica col prodotto XY o YX. Se invece sono incompatibili, non si
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(1) Questa denominazione, di cui si vedrà la ragione al § 24, non deve far credere che questi siano i soli stati che non variano col tempo. P. es
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variano col tempo. P. es., sovrapponendo due stati stazionari col prendere come una combinazione lineare di due autofunzioni di Schrödinger, (v. § 29, p
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Vogliamo ora ricapitolare brevemente il procedimento della meccanica ondulatoria di Schrödinger, enunciandolo col linguaggio geometrico dello spazio
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, dando invece ad un'altra osservabile generica G il ruolo tenuto fin qui dall'energia: la generalizzazione si farà per analogia col caso precedente
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(1) Si noti che, determinato il vettore nell'istante immediatamente successivo all'osservazione, l'ulteriore evoluzione di col tempo resta definita
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col tempo in modo da soddisfare le equazioni della dinamica.
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accordo col fatto che l'atomo di idrogeno è quello che ha la più semplice struttura.
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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Ciò premesso, vediamo come si imposta col metodo delle matrici la ricerca degli autovalori di un'osservabile G (che, in particolare, può essere
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proponiamoci di cercare, col metodo delle matrici, i valori che può assumere la sua energia.
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, condurrebbero, sia col metodo della meccanica ondulatoria che con quello delle matrici, a difficoltà matematiche grandissime od anche praticamente
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di più stati stazionari, e di perturbazioni dipendenti dal tempo: il metodo che useremo è noto in matematica col nome di «metodo della variazione
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dove i coefficienti in generale saranno funzioni di t. Sostituendo questo sviluppo nella (220') (e indicando, come faremo sempre, col punto la
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dove, estendendo in modo ovvio la notazione del prodotto interno, si è indicato col simbolo H l'operatore (o matrice)
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Si osservi che tutto ciò non è interpretabile col semplice modello vettoriale, secondo il quale la seconda osservazione darebbe con certezza il
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che dà (scartando la soluzione col segno — che darebbe )
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singolare, la sua energia andrebbe decrescendo col crescere della velocità.
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e quindi decresce col crescere dell'impulso, ossia della velocità, il che non corrisponde certamente alle proprietà di nessuna delle particelle
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In questa teoria la discontinuità nasce in modo del tutto naturale dal procedimento matematico, in modo abbastanza simile a quello col quale, in
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Altre esperienze di diffrazione degli elettroni, sia col metodo analogo a quello di Lane che col metodo analogo a quello di Bragg, sono state poi
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) col metodo di DEBYE e SCHERRER, spingendo la precisione nella misura di λ fino al 3 per 1000 (la correzione relativistica ammonta a circa 1% per
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comodo, δnm>, col significato
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Accademia della crusca
